Precorsi di Matematica

CAPITOLO 3. FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE 21 esponenziale pi`u semplice (elementare) `e del tipo: a x = b. Un’equazione esponenziale pu`o essere impossibile, indeterminata o determi- nata : • impossibile se b ≤ 0, oppure b 6 = 1 e a = 1; ad esempio: 2 x = − 3 oppure 1 x = 5; • indeterminata se a = 1 e b = 1; ad esempio: 1 x = 1; • determinata se a > 0, a 6 = 1 e b > 0; ad esempio 3 x = 5. Chiamiamo logaritmo in base a di b l’unica soluzione dell’equazione esponen- ziale elementare nel caso determinato: x = log a b, cio`e l’esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b . Esponiamo ora alcune tecniche risolutive per equazioni esponenziali: • se a e b si scrivono come potenze razionali della stessa base, si egua- gliano gli esponenti: 2 x = 8 = ⇒ 2 x = 2 3 = ⇒ x = 3; • se a e b non si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, le soluzioni si scrivono sotto forma di logaritmi: 2 x = 3 = ⇒ x = log 2 3 . (3.1) Il logaritmo `e dunque l’operazione inversa dell’esponenziale e dunque eredita delle condizioni di esistenza, infatti fissato a > 0, deve essere b > 0 e valgono le seguenti propriet`a: • log a 1 = 0 (poich`e a 0 = 1); • log a a = 1 (poich`e a 1 = a ); • log a ( x y ) = y log a x , x > 0 , y ∈ R ; • log a ( xy ) = log a x + log a y , x > 0 , y > 0 (logaritmo del prodotto); • log a x y = log a x − log a y , x > 0 , y > 0 (logaritmo del rapporto);