Precorsi di Matematica

CAPITOLO 3. FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE 28 Esercizio 3.12. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali: (4 x 2 ) 2 > 16 · 4 3 x ; 1 3 x +1 ! 3 > 1 3 1 − x 2 ; 100 x + 2 · 10 x − 3 > 0; 3 x +1 + 3 x < 36; 5 2 x − 1 − 5 x + 4 5 > 0; 27 x − 3 x +1 ≤ 0; √ 2 − 5 x ≤ 5 x ; 3 x · 2 1+ x 3 · 2 x − 1 > r 6 x 3 x − 1 ; 2 2 x − 3 · 2 x +1 + 8 3 − x > 0 . Esercizio 3.13. Risolvere la seguente disequazione logaritmica: log 3 x + log 3 ( x − 6) ≥ 2 . Imponiamo le condizioni di esistenza (gli argomenti delle funzioni loga- ritmiche devono essere positivi): ( x > 0 x − 8 > 0 . (3.2) Dunque sono accettabili solo le x per cui x > 8. D’altra parte, per le propriet`a dei logaritmi, possiamo scrivere: log 3 ( x ( x − 6)) ≥ log 3 3 2 , da cui, passando agli argomenti, ottengo la seguente disequazione di secondo grado: x 2 − 8 x − 9 ≥ 0 . L’equazione associata ammette come soluzioni x 1 , 2 = − 1 , 9 e, quindi, la diseguaglianza `e soddisfatta per valori esterni all’intervallo con questi estremi, cio`e x ≤ − 1 ∪ x ≥ 9. Unendo la soluzione della disequazione logaritmica con le condizioni di accettabilit`a, l’insieme risolvente `e dato dalle incognite che risolvono il seguente sistema: ( x > 8 x ≤ − 1 ∪ x ≥ 9 .